다음은 관람객 초,중등,대학- 학생 또는 일반인들을 위한 수학젼시물에 대한 심층해설이다.해설에 나오는, 괄호[ ] 안은 보다 높은 수준에서 전문적인 수준에 이르기까지 관람자의 흥미, 호기심과 과학지식등 눈높이에 따라 변화성 있게 해설-강의할 수 있는 내용이다.

주위의 여러 사물의 모양을 관찰하고 상상해 보자. 이런 관찰에서 가장 많이 보이고 간단한 도형은 점, 직선, 3각형, 원, 4면체, 6면체, 구(공)등...이다. 우리는 아주 간단한 도형으로부터 보다 복잡한 도형을 찾고 우주만물의 모양을 생각하기도 한다. [그런 간단한 도형들은 사물의 구성에서 꼭 필요하며 기본이 된다. 이러한 간단한 도형들을 알아야 복잡한 사물의 모양과 구조를 이해할 수 있다.]

(1) 뫼비우스띠(Moebus Band)

긴 직4각형의 한 변을 반 바퀴 돌려 맞 변에 붙이면 한 도형이 생긴다. 이 도형을 뫼비우스띠라고 부른다. 뫼비우스띠의 한 쪽면에 노란 색을 계속 이어서 칠해 나아가면 띠의 모든 면이 노란 색으로 다 칠해진다. 또 뫼비우스의 갓 금[경계선]의 한 점에서 출발하여 갓 금을 따라가면 모든 갓 금을 지나고 처음 출발 점에 돌아오게 된다. 이런 사실에서 뫼비우스의띠는 면이 하나이고 갓 금[경계선]도 하나인 것을 알 수 있다. [뫼비우스띠는 비가향성(non orientable) 2차원 곡면(위상공간)이다. 뫼비우스띠에서 많은 고등 수학이론이 나온다. 뫼비우스띠는 독일의 유명한 수학자이며 천문학자인 뫼비우스(A.F. Moebius,1790~1868)가 제시했다.]

(2) 클라인 병(Klein Bottle)

직4각형에서 한 쌍의 맞 변을 붙이고, 다른 쌍의 맞 변을 뫼비우스띠를 만들 때 쳐럼 반 바퀴 돌려 붙여서 만들어지는 도형을 클라인병이라 부른다. 클라인병은 면이 하나인 도형이다. 즉 병의 안과 밖이 같다. [클라인병은 오일러지수0인 비가향성 2차원 곡면(다양체, Manifold, 위상공간) 이다. 이 곡면은 3차원 공간에서는 존재할 수 없으며, 보다 높은 차원의 공간에서 실현가능하다. 클라인병의 펼친그림은 직4각형으로 간단하지만 클라인병은 수학의 아름다운 이론이 많이 들어있는 기하학에서 중요하고 기본적인 도형이다. 독일의 유명한 수학자인 크라인(F.Klein, 1849~1925)이 클라인병을 제시했다. 그는 수학 특히, 기하학 발전에 크게 영향을 주었다.]

(3) 직선은 쌍곡선을 통과한다

전시물을 잘 관찰하자. 가운데 수직으로 위치한 기둥의 각 점에서 수평으로 막대까지의 거리와 쌍곡선까지의 거리를 비교해보자. 이 두 거리가 같다는 것을 관찰에 의하여 알 수 있다. 이런 이유로 수직 기둥을 축으로 막대를 회전시키면 직선(막대)은 쌍곡선을 통과한다. [직선은 쌍곡선을 통과한다는 것을 수식으로 간결하게 증명할 수 있다. 이것은 고등학교 수준의 좋은 문제이다. 쌍곡선을 중앙축을 중심으로 회전시켜 생긴 원자로 같은 모양의 도형을 쌍곡면이라 부른다. 쌍곡선은 원추곡선에 속한다. 원 포물선, 타원, 쌍곡선을 통털어 원추곡선이라 부른다. 원추곡선은 고대 그리스시대에도 연구된 수학에서 중요한 기본적인 곡선이다. 원추곡선은 수학 물리학, 천문학 과 공학등... 실로 엄청나게 많은 분야에 응용 되는 곡선이다