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열전도방정식의 차분해법과 엑셀 이용계산

전문가 제언: ○ 본문은 편미분방정식(PDE)의 해를 수치해석으로 구하는 것에 대해 유한차분법(FDM)으로 구하는 과정을 설명하고 있다. 차분법의 해석과정을 열전도방정식(∂²T/∂x²=(1/α)∂T/∂t)의 풀이를 예로 하여 엑셀을 이용한 2차원 직교 격자에서 구하는 것에 대해 간단히 설명하고 있다.

○ FDM(Finite Difference Method)는 대부분 Explicit 방법을 이용하기 때문에 단계별 해석이 가능하고 매트릭스를 형성할 필요가 없어 계산시간을 절약할 수 있으며 저장용량이 많이 요구되지 않기 때문에 비교적 큰 변위의 해석에 이용될 수 있다. 또한 동적해석에 유용하게 이용될 수 있는 것이 특징이다.

○ 그러나 동적해석이 아닌 정적인 문제의 경우 유한요소법(FEM: Finite Element Method)이나 경계요소법(BEM; Boundary Element Method)에 비해 계산시간이 많이 걸리고 상대적으로 큰 저장요량이 필요하다. 그리고 대체로 해석을 하고자 하는 이용자의 수치해석에 대한 기본지식과 컴퓨터에 대한 지식이 요구된다.

○ 이 FDM은 미분하는 방법과 비슷한 방법으로 일정한 계차를 이용하는 계차이론을 전개하는 함수방정식이기 때문에 계차법, 정차법 또는 차분법이라고 한다. 등간격의 점 xi(i=0, 1, 2, ,..., n)에서 h=(x_n-x_0)/n, Δf(x) =[f(x+h)-f(x)], Δ²f(x)=[f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)]로 된다.

○ 이것을 Subscript notation으로 표현하면 f(x+h)=f_(j+1), f(x)=f_j에서 1계 점진차분(first forward difference)은 Δf_j=(f_(j+1)-f_j)/h로 쓸 수 있고, 1계 후진차분(first backward difference)은 ∇f_j=(f_j-f_(j-1))/h로 쓸 수 있다.

○ 컴퓨터 프로그래밍을 이용한 수치해석방법은 직접 공식이나 해법으로 구하기 힘든 상미분방정식은 물론 열방정식, 물질방정식, 유체응용방정식 등에 다양하게 활용할 수 있기 때문에 이러한 기법에 대한 연구는 공학양론의 기초계산에 크게 기여할 수 있을 것으로 기대된다.

저자: Satoru Yamamoto
자료유형: 학술정보